একটি ঘরের পরিসীমা ৪৪ মিটার এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার হলে ঘরটির প্রন্থ-

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, ঘরটির দৈর্ঘ্য \(l\) মিটার এবং প্রস্থ \(w\) মিটার। যেহেতু এখানে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের কথা বলা হয়েছে, ঘরটি একটি আয়তক্ষেত্রাকার ক্ষেত্র।

    
• একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: \(P = 2(l + w)\)
    
• একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: \(A = l \times w\)

প্রশ্নমতে, ঘরটির পরিসীমা ৪৪ মিটার এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার।

১. পরিসীমা থেকে পাই:

\(2(l + w) = 44\)

\(l + w = \frac{44}{2}\)

\(l + w = 22\) (সমীকরণ ১)

২. ক্ষেত্রফল থেকে পাই:

\(l \times w = 120\) (সমীকরণ ২)

এখন, সমীকরণ ১ থেকে \(l\) এর মান বের করে সমীকরণ ২ এ বসাই:

\(l = 22 - w\)

এই মানটি সমীকরণ ২ এ বসালে পাই:

\((22 - w) \times w = 120\)

\(22w - w^2 = 120\)

\(w^2 - 22w + 120 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle term breakdown) করে সমাধান করা যায়। আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \(120\) এবং যোগফল \(-22\)। সংখ্যা দুটি হলো \(-10\) এবং \(-12\)।

\(w^2 - 12w - 10w + 120 = 0\)

\(w(w - 12) - 10(w - 12) = 0\)

\((w - 12)(w - 10) = 0\)

সুতরাং, দুটি সম্ভাব্য মান পাই:

\(w - 12 = 0 \implies w = 12\)

অথবা

\(w - 10 = 0 \implies w = 10\)

অতএব, ঘরটির প্রস্থ ১০ মিটার অথবা ১২ মিটার হতে পারে।

    
• যদি প্রস্থ \(w = 10\) মিটার হয়, তাহলে দৈর্ঘ্য \(l = 22 - 10 = 12\) মিটার।
    
• যদি প্রস্থ \(w = 12\) মিটার হয়, তাহলে দৈর্ঘ্য \(l = 22 - 12 = 10\) মিটার।

সাধারণত, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে প্রস্থের চেয়ে বড় বা সমান ধরা হয় (অর্থাৎ, \(l \geq w\))। এই প্রথা অনুযায়ী, এখানে দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার হবে।

সুতরাং, ঘরটির প্রস্থ হবে ১০ মিটার।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন যাচাই):

আমরা অপশন থেকে প্রস্থের মান ধরে নিয়ে পরিসীমা এবং ক্ষেত্রফলের শর্ত পূরণ হয় কিনা, তা যাচাই করতে পারি।

    

• ১. প্রস্থ = ১০ মিটার ধরে:

      

  যদি প্রস্থ \(w = 10\) মিটার হয়।

      

  পরিসীমা \(2(l+w) = 44 \implies 2(l+10) = 44 \implies l+10 = 22 \implies l = 12\) মিটার।

      

  ক্ষেত্রফল \(l \times w = 12 \times 10 = 120\) বর্গমিটার।

      

  এটি প্রশ্নের শর্ত (ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার) পূরণ করে।

    
    

• ২. প্রস্থ = ১৫ মিটার ধরে:

      

  যদি প্রস্থ \(w = 15\) মিটার হয়।

      

  পরিসীমা \(2(l+w) = 44 \implies 2(l+15) = 44 \implies l+15 = 22 \implies l = 7\) মিটার।

      

  ক্ষেত্রফল \(l \times w = 7 \times 15 = 105\) বর্গমিটার।

      

  এটি প্রশ্নের শর্ত (ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার) পূরণ করে না।

    
    

• ৩. প্রস্থ = ১২ মিটার ধরে:

      

  যদি প্রস্থ \(w = 12\) মিটার হয়।

      

  পরিসীমা \(2(l+w) = 44 \implies 2(l+12) = 44 \implies l+12 = 22 \implies l = 10\) মিটার।

      

  ক্ষেত্রফল \(l \times w = 10 \times 12 = 120\) বর্গমিটার।

      

  এটিও প্রশ্নের শর্ত (ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার) পূরণ করে।

    
    

• ৪. প্রস্থ = ২০ মিটার ধরে:

      

  যদি প্রস্থ \(w = 20\) মিটার হয়।

      

  পরিসীমা \(2(l+w) = 44 \implies 2(l+20) = 44 \implies l+20 = 22 \implies l = 2\) মিটার।

      

  ক্ষেত্রফল \(l \times w = 2 \times 20 = 40\) বর্গমিটার।

      

  এটি প্রশ্নের শর্ত (ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার) পূরণ করে না।

অপশন যাচাই করে দেখা যাচ্ছে যে, প্রস্থ ১০ মিটার অথবা ১২ মিটার হলে উভয় ক্ষেত্রেই শর্ত পূরণ হয়। তবে প্রথাগতভাবে দৈর্ঘ্যকে প্রস্থের চেয়ে বড় ধরা হয়। সে অনুযায়ী, দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার হবে। তাই সঠিক উত্তর হলো ১০ মিটার।